☛Poisson rouge commun ou comète ?

Énoncé

Un aquariophiliste a réuni dans un même bassin des poissons rouges communs et des poissons rouges comètes. C'est assez difficile de les distinguer si on n'a pas l'habitude. Lorsque les poissons sont suffisamment grands, il les vend.La répartition est donnée dans le tableau suivant: 

\(\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline\text{}&\text{Poissons rouges comètes}&\text{ Poissons rouges communs}&\text{Totaux}\\\hline\text{Trop petit pour être vendu}&850&150&1000\\\hline\hline\text{Peut être vendu }&1550&450&2000\\\hline\text{Totaux}&2400&600&3000\\\hline\end{array}\)On pêche au hasard l'un des poissons de ce bassin. On considère les événements suivants :

• \(C\) : "Le poisson pêché est un poisson rouge comète."
  
• \(J\) : "Le poisson pêché est trop petit pour être vendu."
  

1. Déterminer \(P(J)\) et \(P(C)\).
2. En déduire \(P(\overline{J})\) et \(P(\overline{C})\). 
3. Décrire l'événement \(J\cap C\) puis calculer \(P(J\cap C)\).
4. Décrire l'événement \(J\cup C\) puis calculer \(P(J\cup C)\).
5. Décrire l'événement \(\overline{J}\cap C\) puis calculer \(P(\overline{J}\cap C)\).
6. Décrire l'événement \(J\cup \overline{C}\) puis calculer \(P(J\cup \overline{C})\).

Solution

1. \(P(J)=\dfrac{1\ 000}{3\ 000}=\dfrac{1}{3}\) et \(P(C)=\dfrac{2\ 400}{3\ 000}=\dfrac{4}{5}=0,8\)
2. \(P(\overline{J})=\dfrac{2\ 000}{3\ 000}=\dfrac{2}{3}\) on pouvait aussi faire \(P(\overline{J})=1-P(J)=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}\)
\(\quad P(\overline{C})=\dfrac{600}{3\ 000}=\dfrac{1}{5}=0,2\)
3. \(J\cap C\) : "Le poisson péché est un poisson rouge comète et il est trop petit pour être vendu."
\(\quad P(J\cap C)=\dfrac{850}{3\ 000}=\dfrac{17}{60}\)
4. \(J\cup C\) :"Le poisson péché est ou bien un poisson rouge comète ou bien trop petit pour être péché."
\(\quad P(J\cup C)=\dfrac{850+1\ 550+150}{3\ 000}=\dfrac{2\ 550}{3\ 000}=\dfrac{17}{20}=0,85\)
5. \(\overline{J}\cap C\): "Le poisson péché peut être vendu et c'est un poisson rouge comète."
\(\quad P(\overline{J}\cap C)=\dfrac{1\ 550}{3\ 000}=\dfrac{31}{60}\)
6. \(J\cup \overline{C}\) : "Le poisson péché est ou trop petit pour être vendu ou c'est un poisson rouge commun."
\(\quad P(J\cup \overline{C})=\dfrac{850+150+450}{3\ 000}=\dfrac{1\ 450}{3\ 000}=\dfrac{29}{60}\)